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三门问题中的1/2与2/3

有童yt_hy
5 4 月, 2023

蒙提霍尔问题(英文:Monty Hall problem),亦称为蒙特霍问题、山羊问题或三门问题,是一个源自博弈论的数学游戏问题,参赛者会看见三扇门,其中一扇门的里面有一辆汽车,选中里面是汽车的那扇门,就可以赢得该辆汽车,另外两扇门里面则都是一只山羊。当参赛者选定了一扇门,主持人会开启另一扇是山羊的门;并问:“要不要换一扇门?”依照玛丽莲·沃斯·莎凡特的见解,参赛者应该换,换门的话,赢得汽车的机率是2/3。这问题亦被叫做蒙提霍尔悖论:因为该问题的答案虽在逻辑上并无矛盾,但十分违反直觉。

维基百科

我们首先来说1/3这个答案,这个应该是非常好想的。不变更答案的情况下,三扇门中有一扇门可以中奖,即中奖的概率为1/3。

再来讲2/3这个答案,如果参赛者在主持人排除一项错误选项后变更答案,则有三种情况符合这个条件:

错误答案A错误答案B正确答案结果
先选排除变更后答案中
排除先选变更后答案中
排除变更后答案先选不中

答案为2/3。出现这个答案的原因也很简单,就是因为羊有2只,显然概率更大。也可以反过来理解:如果在不变化的情况下中的概率为1/3,变化答案,概率与之前相反,为2/3。

那么很多人是如何得出1/2这个答案的呢?这个答案其实并没有错,只是与题目所求内容不符而已。题目所说参赛者应该换,换门的话,赢得汽车的机率是2/3意味着在主持人揭晓其中的一个错误答案后,参赛者不假思索地更换了答案,从而有了2/3这个概率。但是从正常思维角度来讲,公布一个错误答案并不意味着换门,而是纠结于剩余的两个门,二选一,选对的概率自然为1/2。

总而言之,这个游戏不管你怎么选,变与不变,中奖概率都是1/2。中与不中,这都是命中注定的。这和数学素养无关,和赌博更无关系。不要指望学一些看似很有道理的小技巧就能逢赌必胜,不然赌场早就应该闭门大吉了。

参考:

1.蒙提霍尔问题 - 维基百科,自由的百科全书

2.决胜21点中的“三门问题”是怎么回事?应该如何提高中奖的概率?李永乐老师讲解蒙提霍尔问题

Monty Hall problem 三门问题 蒙提霍尔问题
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